Wie funktioniert magnetische Hysterese? Mathematische Grundlagen

Im ersten Teil dieses Blogbeitrags haben wir die magnetische Hysterese ferromagnetischer Werkstoffe als Ergebnis des Zusammenspiels eines äußeren Magnetfeldes H und der magnetischen Flussdichte B kennengelernt. Letztere beschreibt die Vorgänge im Inneren des Ferromagneten.

Der Begriff Hysterese (griechisch hysteros: Verzögerung, Verzug) verweist darauf, dass die Flussdichte B der äußeren Feldstärke H zeitlich verzögert folgt. Ursache dafür ist, dass sich die Weißschen Bezirke im Werkstoff nur dann umorientieren können, wenn ausreichend Energie vorhanden ist, um innere Widerstände zu überwinden.

Nachdem wir die Hysteresekurve im ersten Teil physikalisch erklärt haben, wollen wir nun zusätzlich die Mathematik nutzen, um ihre Eigenschaften genauer zu analysieren.

Anforderungen an ein mathematisches Modell

Ein geeignetes mathematisches Modell sollte mehrere Eigenschaften realer Ferromagnete wiedergeben können:

• Form und Verlauf der Neukurve
• Form und Verlauf der Hysteresekurve
• unterschiedliche Kurvenbreiten für weich- und hartmagnetische Werkstoffe

 

Zur Erzeugung einer Hysteresekurve benötigen wir ein Magnetfeld H, das seine Größe und Richtung periodisch ändert. Dies lässt sich beispielsweise mit einer wechselstromdurchflossenen Spule erreichen. Das Magnetfeld besitzt dann einen sinusförmigen zeitlichen Verlauf.

Der einfache Fall: Keine Hysterese

Nehmen wir zunächst an, dass die magnetische Flussdichte B den Änderungen des Magnetfeldes ohne Verzögerung folgt.

Mathematisch bedeutet das:

H = H₀ · sin(t)

B = B₀ · sin(t)

In diesem Fall verlaufen beide Größen zeitlich identisch sinusförmig.

Trägt man B über H auf, ergibt sich lediglich ein linearer Zusammenhang: Steigt H, steigt auch B; fällt H, fällt auch B. Graphisch entspricht das einer einfachen geneigten Linie, auf der man beim periodischen Verlauf des Feldes auf- und abläuft.

Ein solcher Zusammenhang zeigt keine Hysterese.

Einführung einer zeitlichen Verzögerung

Um die reale magnetische Hysterese zu modellieren, müssen wir eine zeitliche Verzögerung zwischen H und B berücksichtigen. Dies geschieht mathematisch durch eine Phasenverschiebung φ:

H = H₀ · sin(t)

B = B₀ · sin(t + φ)

Die Phasenverschiebung φ beschreibt die zusätzliche Zeit, die die Flussdichte B benötigt, um auf die Änderungen des Feldes H zu reagieren. Betrachten wir einen Zusammenhang von H und B bei Phasenverschiebungen von 1/20 bzw. 1/10 Periode. Bezogen auf eine Wechselgröße mit einer Frequenz von 50 Hz (Periodendauer 20 ms) bedeuten diese Werte eine zeitliche Verzögerung der „Reaktion” der Flussdichte B gegenüber den „Kommandos” der Feldstärke H von 1 ms bzw. 2 ms.

Mit anderen Worten: Trägt man B über H auf, entsteht nun eine geschlossene Kurve, die eine Fläche einschließt – eine Hysteresekurve. Allerdings besitzt diese Kurve zunächst eine elliptische Form und ähnelt noch nicht den typischen, eher „viereckigen“ Hystereseschleifen realer Werkstoffe.

Dennoch zeigen sich bereits zwei wichtige Zusammenhänge:

• Eine Phasenverschiebung zwischen H und B erzeugt grundsätzlich Hysterese.
• Größere Phasenverschiebungen führen zu breiteren Hysteresekurven.

 

Damit lässt sich mathematisch bereits das Verhalten von weich- und hartmagnetischen Werkstoffen beschreiben.

Neukurve und Sättigung modellieren

Um auch Neukurve und Sättigungsverhalten korrekt abzubilden, müssen wir die Annahme aufgeben, dass B ebenfalls sinusförmig verläuft. Stattdessen nehmen wir an, dass die Flussdichte einen eher „kastenförmigen“ Verlauf besitzt. Dies lässt sich mathematisch erreichen, indem mehrere Sinusfunktionen unterschiedlicher Ordnung kombiniert werden:

B = B₁ · sin(t) + B₃ · sin(3t) + B₅ · sin(5t) + B₇ · sin(7t) + B₉ · sin(9t)

Durch die Überlagerung solcher Funktionen lassen sich unterschiedliche Signalformen erzeugen – etwa dreieckige, kastenförmige oder komplexere Kurvenverläufe.

In diesem Beispiel wurden fünf Sinusfunktionen kombiniert, weil diese Anzahl bereits ausreichte, um eine gut angenäherte „kastenförmige“ Form zu erzeugen. Trägt man diese Flussdichte über dem Magnetfeld auf, erkennt man im oberen rechten Bereich der Kurve bereits eine gute Annäherung an die reale Neukurve einschließlich Sättigung.

Kombination aus Verzögerung und Nichtlinearität

Um realistische Hysteresekurven zu erzeugen, müssen wir nun zwei Effekte kombinieren:

• den nichtlinearen („kastenförmigen“) Verlauf der Flussdichte B
• die zeitliche Verzögerung zwischen H und B

Mathematisch ergibt sich dann: B = B₁·sin(t+φ) + B₃·sin(3t+φ) + B₅·sin(5t+φ) + B₇·sin(7t+φ) + B₉·sin(9t+φ)

Die Phasenverschiebung φ beschreibt wieder die Verzögerung zwischen äußerem Magnetfeld und Materialreaktion. Mit dieser Kombination entstehen Hysteresekurven, die den real gemessenen Kurven sehr nahekommen.

Warum ist der Verlauf von B „kastenförmig“?

Die Form lässt sich direkt aus den physikalischen Prozessen im Material erklären. Solange nicht genügend Energie vorhanden ist, um die Weißschen Bezirke umzudrehen, bleibt die magnetische Flussdichte nahezu konstant. Das entspricht den horizontalen Abschnitten der Kurve. Sobald ausreichend Energie vorhanden ist, erfolgt die Umorientierung sehr schnell – das entspricht den steilen, nahezu vertikalen Kurvenabschnitten.

Die Kombination dieser beiden Effekte führt zu der typischen „rechteckigen“ Form vieler Hysteresekurven.

Zusammenhang zwischen Energie und Kurvenbreite

Je größer die inneren Widerstände im Werkstoff sind, desto mehr Energie wird benötigt, um die Weißschen Bezirke umzuorientieren. Um diese Energie zu sammeln, ist eine größere zeitliche Verzögerung erforderlich – mathematisch beschrieben durch eine größere Phasenverschiebung φ. Das Ergebnis sind breitere Hysteresekurven, wie sie für hartmagnetische Werkstoffe typisch sind.

Werkstoffprüfung mit Oberwellenanalyse

Die mathematische Darstellung mit mehreren Sinusfunktionen ist keineswegs nur eine theoretische Spielerei. Sie bildet die Grundlage für ein Verfahren, das in der Werkstoffprüfung eingesetzt wird: die Oberwellenanalyse. Dazu wird die Hysteresekurve eines Referenzmaterials gemessen und anschließend die Flussdichte B in ihre einzelnen Sinusanteile zerlegt. Jede dieser Sinusfunktionen steht dabei in Zusammenhang mit bestimmten Werkstoffeigenschaften.

Ändert sich beispielsweise die Amplitude eines bestimmten Anteils – etwa B₉ –, kann dies auf eine Veränderung der Mikrostruktur oder Materialeigenschaften hinweisen.

Grundschwingung und Oberwellen

In der Darstellung B = B₁·sin(t) + B₃·sin(3t) + B₅·sin(5t) + B₇·sin(7t) + B₉·sin(9t) bezeichnet man sin(t) als Grundschwingung und sin(3t), sin(5t), als Oberwellen

Die Analyse dieser Oberwellen liefert wichtige Informationen über das magnetische Verhalten und die Struktur ferromagnetischer Werkstoffe.

Ein anschaulicher Vergleich

Interessanterweise führt jeder Mensch eine ähnliche Analyse täglich durch – beim Hören von Musik. Wir erkennen sofort, ob ein Ton harmonisch oder dissonant klingt. Dissonanzen entstehen häufig durch „fehlerhafte“ Oberwellenanteile im Klang. Unser Gehirn analysiert also unbewusst die Oberwellenstruktur akustischer Signale. Stimmen diese Anteile, klingt der Ton angenehm; weichen sie ab, empfinden wir den Klang als störend.

Ganz ähnlich nutzt die Werkstoffprüfung die Oberwellenanalyse, um Abweichungen im magnetischen Verhalten eines Materials zu erkennen.