Messunsicherheiten in der Praxis: Leitfähigkeit analytisch bestimmen

Im dritten Teil unserer Blogserie zur „Messunsicherheit” erörtern wir die Messunsicherheit bei der Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit σ. Dazu verwenden wir eine einfache Modellgleichung. Diese berücksichtigt zwar nicht alle möglichen Einflussgrößen, verdeutlicht jedoch die grundlegende Vorgehensweise.

Die Ausgangsgleichung

Die Formel besagt, dass der ohmsche Widerstand R eines Leiters gleich seiner Länge l dividiert durch seine Leitfähigkeit σ und seinen Querschnitt A ist. Für unsere Betrachtung stellen wir die Gleichung nach der Leitfähigkeit σ um. Zusätzlich nehmen wir an, dass der Leiter einen quadratischen Querschnitt mit der Kantenlänge a besitzt (das macht die Formeln etwas einfacher). Damit gilt für den Querschnitt: A = a²

Das mathematische Modell als Messvorschrift

Die Gleichung erfüllt die Anforderungen an ein mathematisches Modell im Sinne des GUM-Leitfadens (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) und liefert gleichzeitig die praktische Messvorschrift:

• Messe die Länge l des Leiters.
• Messe die Kantenlänge a des quadratischen Querschnitts.
• Bestimme den ohmschen Widerstand R des Leiters.
• Berechne daraus die elektrische Leitfähigkeit σ.

Damit ist klar definiert, welche Messgrößen benötigt werden und wie sie in das Modell eingehen.

Zwei Wege zur Bestimmung der Messunsicherheit

Für die Ermittlung der Messunsicherheit betrachten wir zwei grundsätzliche Ansätze:

• Variante 1: ein analytischer Ansatz auf Basis des mathematischen Modells
• Variante 2: ein statistischer Ansatz unter Verwendung von Referenzmaterial

In diesem Beitrag betrachten wir Variante 1, also den analytischen Ansatz. Die statistische Methode wird im vierten Teil dieser Serie behandelt.

Analytische Bestimmung der Unsicherheit

Der analytische Ansatz erfordert etwas weitergehende Mathematik, insbesondere die Bestimmung des totalen Differentials der Modellgleichung für σ. Nach einigen Umformungen erhält man eine Beziehung, mit der sich die kombinierte Messunsicherheit der Leitfähigkeit bestimmen lässt. Dabei treten die Größen

• uₗ – Unsicherheit der Längenmessung
• uᵣ – Unsicherheit der Widerstandsmessung
• uₐ – Unsicherheit der Messung der Kantenlänge

in die Berechnung ein.
Die kombinierte maximale Messunsicherheit uσ ergibt sich aus einer Gleichung, in der diese Unsicherheiten mit sogenannten Empfindlichkeitskoeffizienten gewichtet werden. Die entsprechenden Brüche in der Gleichung stellen die Empfindlichkeitskoeffizienten dar:
cₗ für die Länge l
cᵣ für den Widerstand R
cₐ für die Kantenlänge a

Diese Koeffizienten beschreiben, wie stark Änderungen einer Eingangsgröße das Ergebnis beeinflussen. Sie können aus den gemessenen Werten berechnet oder experimentell bestimmt werden.

In kompakter Schreibweise lässt sich die Gleichung entsprechend zusammenfassen. Die verwendeten Betragszeichen verhindern negative Unsicherheitsbeiträge, da Unsicherheiten stets positiv in die Gesamtunsicherheit eingehen.

Bestimmung der einzelnen Messunsicherheiten

Die Unsicherheiten der einzelnen Messgrößen ergeben sich aus den jeweiligen Messverfahren.

• Längenmessung : Wird die Länge des Metallstabes mit einem Lineal gemessen, ergibt sich die Messunsicherheit aus der halben Skalenteilung STₗ des Lineals. Da die möglichen Abweichungen gleichverteilt sind, wird eine Rechteckverteilung angenommen. Daraus folgt: Unsicherheit = (halbe Skalenteilung) / √3
• Widerstandsmessung: Die Unsicherheit der Widerstandsmessung uᵣ wird häufig direkt dem Kalibrier- oder Gerätezertifikat des verwendeten Multimeters entnommen. Dort ist sie beispielsweise als Wert Zᵣ angegeben.
• Messung der Kantenlänge: Wird die Kantenlänge a mit einem analogen Messschieber bestimmt und mögliche Verkippungen oder Verkanten berücksichtigt, kann eine Dreieckverteilung angenommen werden. Die Unsicherheit ergibt sich dann aus: Unsicherheit = (halbe Skalenteilung STₘ) / √6

Maximale und mittlere kombinierte Messunsicherheit

Die beschriebene Gleichung liefert eine maximale Messunsicherheit – also den Fall, dass sich alle Unsicherheiten gleichzeitig in ungünstiger Weise addieren. In der Praxis ist ein solcher Extremfall jedoch eher unwahrscheinlich. Deshalb wird üblicherweise eine kombinierte mittlere quadratische Messunsicherheit berechnet. Dabei werden die einzelnen Unsicherheitsbeiträge quadratisch kombiniert.

Dieses Vorgehen entspricht der Standardmethode der Messunsicherheitsberechnung. Die so berechnete Messunsicherheit uσ beschreibt ein Vertrauensintervall, in dem der wahre Wert der Leitfähigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68% liegt.

Erweiterte Messunsicherheit

I Soll ein höheres Vertrauensniveau angegeben werden, wird die Messunsicherheit mit einem Erweiterungsfaktor k multipliziert. Die erweiterte Messunsicherheit U ergibt sich damit aus: U = k · uσ

In der Praxis wird häufig k = 2 verwendet. Damit ergibt sich ein Vertrauensniveau von etwa 95% – der wahre Wert der Messgröße liegt also mit rund 95% Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls, das durch U definiert wird.

Allerdings ist zu beachten, dass die Anwendung solcher einfacher Erweiterungsfaktoren (2, 3 usw.) nicht in allen Fällen vollständig korrekt ist. Welche Voraussetzungen dafür gelten und welche Alternativen existieren, wird im vierten Teil dieser Serie erläutert.

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