{"id":211,"date":"2012-01-20T06:29:14","date_gmt":"2012-01-20T05:29:14","guid":{"rendered":"http:\/\/www.werkstoff-blog.de\/?p=211"},"modified":"2026-04-02T09:25:11","modified_gmt":"2026-04-02T07:25:11","slug":"wie-funktioniert-eigentlich-magnetische-hysterese-teil-2-mathematik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.werkstoff-service.de\/blog\/wie-funktioniert-eigentlich-magnetische-hysterese-teil-2-mathematik\/","title":{"rendered":"Wie funktioniert eigentlich \u2026 magnetische Hysterese? (Teil 2 – Mathematik)"},"content":{"rendered":"

Im ersten Teil des Blogbeitrages haben wir die magnetische Hysterese ferromagnetischer Werkstoffe als das Ergebnis des Zusammenspiels eines \u00e4u\u00dferen Magnetfeldes H und der magnetischen Flussdichte B, die die Vorg\u00e4nge im Inneren des Ferromagneten beschreibt, kennengelernt.<\/p>\n

Wir haben im Teil 1 gesehen, dass der Begriff Hysterese (griechisch hysteros<\/em>: Verz\u00f6gerung, Verzug) darauf zur\u00fcckzuf\u00fchren ist, dass die Flussdichte B der \u00e4u\u00dferen Feldst\u00e4rke H zeitlich verz\u00f6gert folgt. Das passiert, weil die Wei\u00dfschen Bezirke im Ferromagneten, deren \u00c4nderung die Flussdichte beschreibt, dem \u00e4u\u00dferen Magnetfeld nur dann folgen k\u00f6nnen, wenn ihnen gen\u00fcgend Energie zur Verf\u00fcgung steht, um innere Widerst\u00e4nde zu \u00fcberwinden.<\/p>\n

<\/div>\n

 <\/p>\n

Abb. 1: Neukurve (NK) und Hysteresekurve (HK) eines Ferromagneten<\/div>\n

Nachdem wir die Hysteresekurve im ersten Teil physikalisch erkl\u00e4rt haben, wollen wir nun au\u00dferdem noch die Mathematik zu Hilfe nehmen, um die Eigenschaften von Hysteresekurven genauer zu analysieren. Alle Bilder in diesem Blogbeitrag wurden \u00fcbrigens mit Hilfe einer Excel-Tabelle erstellt. Wir starten mit Abb. 1, die uns die Neukurve und die Hysteresekurve eines Ferromagneten zeigt. Ein gutes mathematisches Modell sollte uns folgendes liefern und erkl\u00e4ren:<\/p>\n

    \n
  • Form und Verlauf der Neukurve<\/li>\n
  • Form und Verlauf der Hysteresekurve<\/li>\n
  • Hysteresekurven unterschiedlicher Breite f\u00fcr Weich- und Hartmagnete<\/li>\n<\/ul>\n

    F\u00fcr die Erzeugung einer Hysteresekurve ben\u00f6tigen wir ein magnetisches Feld H, das seine Gr\u00f6\u00dfe und Richtung \u00e4ndert. Das k\u00f6nnen wir durch eine wechselstromdurchflossene Spule erzeugen \u2013 das Feld H hat dann einen sinusf\u00f6rmigen Verlauf. Wir nehmen zun\u00e4chst einmal an, dass die Flussdichte B den \u201eKommandos\u201c der Feldst\u00e4rke H umgehend (also ohne Verzug) folgt und daher einen sehr \u00e4hnlichen Verlauf hat. Mathematisch bedeutet das:<\/p>\n

    H = Ho<\/sub> \u00b7 sin(t) und B = Bo<\/sub> \u00b7 sin(t)<\/div>\n

     <\/p>\n

    <\/div>\n
    Abb. 2: sinusf\u00f6rmiger Verlauf von H und B ohne Phasenunterschied (ohne zeitliche Verz\u00f6gerung)<\/div>\n

    In Abb. 2 ist links der Zeitverlauf von H und B dargestellt. Da f\u00fcr H und B der Einfachheit halber eine identische Skalierung angewendet wurde, liegen beide Sinuskurven aufeinander. Rechts ist die Flussdichte B \u00fcber der Feldst\u00e4rke H aufgetragen und wir finden einen linearen Zusammenhang: Erh\u00f6ht sich H, erh\u00f6ht sich auch B. Ist H maximal, ist es auch B. Nimmt H ab, nimmt auch B ab, \u2026 Wir \u201elaufen\u201c also einfach auf einer geneigten Linie hoch und runter (schwarzer Pfeil). Das hat nichts mit Hysterese zu tun.<\/p>\n

    Jetzt bauen wir die zeitliche Verz\u00f6gerung zwischen magnetischer Flussdichte B dem Magnetfeld H in unsere Formeln ein, indem wir in die Sinusfunktion f\u00fcr das B-Feld eine Phasenverschiebung (Zeitverschiebung) \u03c6 einf\u00fcgen:<\/p>\n

    H = Ho<\/sub> \u00b7 sin(t) und B = Bo<\/sub> \u00b7 sin(t + \u03c6 )<\/p>\n

    Die Phasenverschiebung \u03c6 ist die \u201eZusatzzeit\u201c, die die Flussdichte B wegen der Hysterese ben\u00f6tigt. Die Abb. 3 und 4 zeigen den Zusammenhang von H und B f\u00fcr Phasenverschiebungen von 1\/20 Periode bzw. 1\/10 Periode. Bezogen auf eine 50Hz-Wechselgr\u00f6\u00dfe (Periodendauer 20 ms) bedeuten diese Werte eine zeitliche Verz\u00f6gerung der \u201eReaktion\u201c der Flussdichte B gegen\u00fcber den \u201eKommandos\u201c der Feldst\u00e4rke H von 1 ms bzw. 2 ms.<\/p>\n

    <\/div>\n
    Abb. 3: sinusf\u00f6rmiger Verlauf von H und B mit einer Phasenverschiebung \u03c6 von 1\/20 Periode<\/div>\n

    Abb. 3 und 4 liefern uns jetzt in der Tat Hysteresekurven- also Kurven, die eine Fl\u00e4che umschlie\u00dfen. Allerdings sehen diese ellipsenf\u00f6rmig aus und nicht \u201eviereckig\u201c \u2013 das \u201e\u00e4ndern\u201c wir weiter unten noch … Vergleichen wir Abb. 3 und 4 mit Abb. 1, so erkennen wir zwei Sachverhalte wieder:<\/p>\n

      \n
    • Wir haben in allen drei F\u00e4llen Hysteresekurven, auch wenn sich die Kurvenformen unterscheiden. Die Entstehung der magnetischen Hysterese hat in der Tat damit zu tun, dass die magnetische Flussdichte B dem \u00e4u\u00dferen Magnetfeld H zeitlich verz\u00f6gert folgt (Phasenverschiebung \u03c6 ).<\/li>\n<\/ul>\n
        \n
      • Je gr\u00f6\u00dfer die zeitliche Verz\u00f6gerung zwischen B und H, desto breiter werden offensichtlich die Hysteresekurven. Weich- bzw. hartmagnetisches Verhalten l\u00e4sst sich also berechnen.<\/li>\n<\/ul>\n

         <\/p>\n


        \nAbb. 4: sinusf\u00f6rmiger Verlauf von H und B mit einer Phasenverschiebung \u03c6 von 1\/10 Periode<\/div>\n

        Wollen wir die Neukurve und das S\u00e4ttigungsverhalten erkl\u00e4ren, so m\u00fcssen wir uns von dem Gedanken trennen, dass die magnetische Flussdichte B ebenso wie die Feldst\u00e4rke H einen sinusf\u00f6rmigen Verlauf hat. Wir nehmen f\u00fcr B einen eher \u201ekastenf\u00f6rmigen\u201c Verlauf an (Abb. 5) \u2013 diese Annahme wird einige Abs\u00e4tze weiter unten begr\u00fcndet. Mathematisch machen wir das, indem wir 5 Sinus-Funktionen verschiedener Ordnung (t, 3t, 5t, \u2026) und unterschiedlicher Amplituden (B1, B3, B5, \u2026) kombinieren. Auf eine Phasenverschiebung \u03c6 k\u00f6nnen wir zun\u00e4chst verzichten.<\/p>\n

        Man kann je nach Art und Anzahl der Sinusfunktionen beliebige Formen \u201eerzeugen\u201c: kastenf\u00f6rmige, dreieckige, kreisf\u00f6rmige, … Warum wurden hier gerade f\u00fcnf Sinusfunktionen verwendet? Weil die F\u00fcnf ausreichend waren, um den dargestellten (und recht gut gelungenen) \u201eKasten\u201c zu erzeugen \u2013 vier h\u00e4tten daf\u00fcr nicht gereicht.
        \nBetrachten wir die Darstellung von B \u00fcber H (Abb. 5, rechts) \u2013 und dort speziell den oberen rechten Teil, dann finden wir in guter N\u00e4herung unsere Neukurve (Abb. 5: NK) inklusive des S\u00e4ttigungsverhaltens wieder.<\/p>\n


        \nAbb. 5: Verlauf von H (sinusf\u00f6rmig) und B (\u201ekastenf\u00f6rmig\u201c) ohne Phasenunterschied \u03c6<\/div>\n

        Zur Erkl\u00e4rung von Neukurve und S\u00e4ttigung haben wir keinen Zeitverzug zwischen H und B ben\u00f6tigt. Soll unser mathematisches Modell nun Hysteresekurven erzeugen, die den \u201ewirklichen\u201c Hysteresekurven nahekommen, so m\u00fcssen wir die zeitliche Verz\u00f6gerung zwischen H und B und den \u201ekastenf\u00f6rmigen\u201c Verlauf von B miteinander kombinieren:<\/p>\n

        B = B1<\/sub> \u00b7 sin(t + \u03c6) + B3<\/sub> \u00b7 sin(3t + \u03c6) + B5<\/sub> \u00b7 sin(5t + \u03c6) + B7<\/sub> \u00b7 sin(7t + \u03c6) + B9<\/sub> \u00b7 sin(9t+\u03c6)<\/p>\n

        Die Phasenverschiebung \u03c6 beschreibt wieder die zeitliche Verz\u00f6gerung zwischen Feldst\u00e4rke H und Flussdichte B. Abb. 6 und 7 zeigen den Zusammenhang von H und B wieder f\u00fcr Phasenverschiebungen von 1\/20 bzw. 1\/10 Periode.<\/p>\n

        An dieser Stelle wollen wir kl\u00e4ren und begr\u00fcnden, warum die Flussdichte B einen derart \u201ekastenf\u00f6rmigen\u201c Verlauf hat. Weil sich die Wei\u00dfschen Bezirke und damit auch die Flussdichte B zun\u00e4chst nicht \u00e4ndern, solange nicht gen\u00fcgend Energie f\u00fcr die Drehung der Wei\u00dfschen Bezirke vorhanden ist. Das entspricht dem horizontalen Verlauf von B in den Abb. 6 und 7. Wenn gen\u00fcgend Energie zur Verf\u00fcgung steht, dann geschieht die \u00c4nderung sehr schnell. Das entspricht dem nahezu vertikalen Verlauf von B in den Abb. 6 und 7. Zusammen ergibt das den \u201ekastenf\u00f6rmigen\u201c Verlauf.<\/p>\n


        \nAbb. 6: Verlauf von H (sinusf\u00f6rmig) und B (\u201ekastenf\u00f6rmig\u201c) mit einem Phasenunterschied \u03c6 von 1\/20 Periode<\/div>\n

        Je gr\u00f6\u00dfer die inneren Widerst\u00e4nde im Werkstoff, desto mehr Energie wird f\u00fcr die Drehung der Wei\u00dfschen Bezirke ben\u00f6tigt. Um diese Energie zu sammeln, braucht es \u201eExtrazeit\u201c, die wir mit der Phasenverschiebung \u03c6 beschreiben. Eine gro\u00dfe Phasenverschiebung produziert eine breite Hysteresekurve und beschreibt damit mathematisch die gro\u00dfen Energien, die f\u00fcr die Drehung ben\u00f6tigt werden.
        \nWir haben nun \u201enahezu perfekte\u201c Hysteresekurven konstruiert. Unsere Zutaten waren:<\/p>\n

          \n
        • sinusf\u00f6rmiger zeitlicher Verlauf der magnetischen Feldst\u00e4rke H<\/li>\n<\/ul>\n
            \n
          • \u201ekastenf\u00f6rmiger\u201c Verlauf der magnetischen Flussdichte B<\/li>\n<\/ul>\n
              \n
            • Phasenverschiebung \u03c6 zwischen H und B<\/li>\n<\/ul>\n

              F\u00fcr die Konstruktion der Hysteresekurven in den Abb. 6 und 7 haben wir Sinusfunktionen verschiedener Ordnung miteinander kombiniert. Ist dies nur eine mathematische Spielerei oder hat das auch werkstofftechnischen \u201eN\u00e4hrwert\u201c?
              \nDazu betrachten wir die Hysteresekurve in Abb. 8. Die ist durch dieselbe Kombination von Sinusfunktionen entstanden wie die in Abb. 7, aber mit einer Ausnahme:
              \nDie Amplitude B9<\/sub> der letzten Sinusfunktion wurde ein klein wenig ver\u00e4ndert \u2013 und die Auswirkungen sind in Abb. 8 deutlich sichtbar.<\/p>\n


              \nAbb. 7: Verlauf von H (sinusf\u00f6rmig) und B (\u201ekastenf\u00f6rmig\u201c) mit einem Phasenunterschied von 1\/10 Periode<\/div>\n

              Wie nutzen Werkstoffwissenschaftler so etwas?
              \nNun, sie messen die Hysteresekurve eines \u201eGut-Werkstoffes\u201c, zerlegen diese (oder genauer die Flussdichte B, die sich in der Hysteresekurve verbirgt) in ihre einzelnen Sinusfunktionen und ordnen bestimmten Werkstoffeigenschaften bestimmte Sinusfunktionen zu. Werden nun andere Proben dieses Werkstoffes untersucht und finden sich Ver\u00e4nderung in den Hysteresekurven (z.B. eine \u00c4nderung der Amplitude B9<\/sub>), dann kann man diese \u00c4nderung einer ganz bestimmten Sinusfunktion zuordnen und so R\u00fcckschl\u00fcsse auf die konkrete Werkstoffeigenschaft ziehen, die sich hinter dieser Sinusfunktion \u201everbirgt\u201c.<\/p>\n


              \nAbb. 8: Verlauf von H und B mit Phasenunterschied von 1\/10 Periode und \u201eSt\u00f6rung\u201c von B<\/div>\n

              Das ganze Verfahren nennt man Oberwellenanalyse. Warum Oberwellenanalyse? Dazu betrachten wir noch einmal die Formel:<\/p>\n

              B = B1<\/sub> \u00b7 sin(t) + B3<\/sub> \u00b7 sin(3t) + B5<\/sub> \u00b7 sin(5t) + B7<\/sub> \u00b7 sin(7t) + B9<\/sub> \u00b7 sin(9t)<\/p>\n

              Die erste Sinusfunktion (sin(t)) nennt man Grundschwingung (oder auch Grundwelle) und alle anderen Sinusfunktionen (sin(3t), sin(5t), \u2026) werden Oberwellen genannt. Diese werden der Oberwellenanalyse unterzogen. Mittels Oberwellenanalyse von Hysteresekurven lassen sich also die Materialeigenschaften ferromagnetische Werkstoffe pr\u00fcfen.<\/p>\n

              Die Oberwellenanalyse ist \u00fcbrigens etwas, was jeder Mensch praktisch jeden Tag durchf\u00fchrt. Wir h\u00f6ren sofort, ob ein Ton harmonisch klingt oder eher dissonant (also unharmonisch). Dissonanzen werden u.a. durch \u201efehlerhafte\u201c Oberwellen verursacht. Unser Gehirn analysiert dazu die Oberwellen akustischer T\u00f6ne. Was fehlerfrei ist, das \u201eklingt gut\u201c. Was fehlerhaft ist, nehmen wir als unangenehmen Klang wahr.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

              Nachdem wir die Hysteresekurve im ersten Teil physikalisch erkl\u00e4rt haben, wollen wir nun au\u00dferdem noch die Mathematik zu Hilfe nehmen, um die Eigenschaften von Hysteresekurven genauer zu analysieren.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":457,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_bbp_topic_count":0,"_bbp_reply_count":0,"_bbp_total_topic_count":0,"_bbp_total_reply_count":0,"_bbp_voice_count":0,"_bbp_anonymous_reply_count":0,"_bbp_topic_count_hidden":0,"_bbp_reply_count_hidden":0,"_bbp_forum_subforum_count":0},"categories":[35,8],"tags":[],"yoast_head":"\nWie funktioniert eigentlich \u2026 magnetische Hysterese? 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