Was sind eigentlich … Messunsicherheiten? Teil 4 – Ermittlung der Messunsicherheit mit statistischen Methoden

Teil 4 des Blogs widmet sich der Bestimmung der Messunsicherheit mit statistischen Methodenund unter Verwendung von Referenzmaterial. Wie schon im Teil 3 soll das Vorgehen am Beispiel der Messung der elektrischen Leitfähigkeit σ erläutert werden.

Wieder ermitteln wir die Leitfähigkeit durch Messung der Länge l und der Kantenlänge a des Leiters sowie seines ohmschen Widerstandes R und berechnen die Leitfähigkeit s mit der Formel:

Für die Ermittlung der Messunsicherheit wählen wir nun aber keinen analytischen Ansatz auf Basis des mathematischen Modells (siehe Teil 3), sondern nutzen ausschließlich statistische Überlegungen unter Verwendung von Referenzmaterial. Wir betrachten nachfolgend nur die kombinierte mittlere quadratische Messunsicherheit.

Wir benötigen Referenzmaterial, das den Messbereich für die Leitfähigkeitsmessungen „abdeckt“. Gegebenenfalls ist eine Referenzprobe für den gesamten Messbereich ausreichend (Ein-Punkt-Verfahren), oder der Messbereich muss mit mehreren Referenzproben „abgedeckt“ werden (Mehr-Punkt-Verfahren). Wir verwenden nachfolgend das Ein-Punkt-Verfahren.

Der „wahre Wert“ (siehe Teil 1 ) der Leitfähigkeit unserer Referenzprobe muss möglichst genau bekannt sein – optimalerweise dokumentiert in einem Zertifikat, in dem die Art der Ermittlung der Leitfähigkeit und die Rückführbarkeit der Messmethode angegeben werden ebenso wie die Einzelwerte der Messungen und die Messunsicherheit mit Vertrauensintervall und Vertrauensniveau.

Die kombinierte Messunsicherheit bei statistischer Analyse unter Verwendung von Referenzmaterial setzt sich in unserem Fall aus 3 Unsicherheitsbeträgen zusammen:

1) Durch m Messungen an der Referenzprobe wird die Genauigkeit (siehe Teil 2) des verwendeten Prüfverfahrens ermittelt. Die Streuung s_Ref der Messwerte der Referenzprobe liefert die Basis für den ersten Unsicherheitsbeitrag.

2) Die Unsicherheit u_Zert , die mit der Ermittlung der Leitfähigkeit der Referenzprobe verbunden ist, entnehmen wir im einfachsten Falle direkt dem Zertifikat des Referenzmaterials.

3) Durch n Messungen an der zu untersuchenden Probe wird die Leitfähigkeit dieser Probe ermittelt. Die Streuung s_Prob der Messwerte der Probe liefert die Basis für den dritten Unsicherheitsbeitrag, der die Probeneigenschaften erfasst.

Für die kombinierte Messunsicherheit der Leitfähigkeitsmessung ergibt sich die folgende Formel:

Dabei sind t_m und t_n sind die sogenannten Student-Faktoren, die die Tatsache berücksichtigen, dass die Anzahl der Messungen m und n häufig klein sind. Die Rechnungen vereinfachen sich, wenn m und n gleich sind.

Wenn u_Zert nicht unmittelbar aus dem Zertifikat des Referenzmaterials zu entnehmen ist, dann müssen die p im Zertifikat angegebenen Einzelwerte und ihre Streuung s_Zert „von Hand“ berechnet werden. Die Formel ändert sich dann wie folgt:

Bei beiden Formeln kann es sich sowohl um einfache als auch um erweiterte Messunsicherheiten handeln – je nachdem, ob die Student-Faktoren t_m , t_n und t_p ein 68%-Vertrauensniveau oder ein höheres Vertrauensniveau berücksichtigen. Den Erweiterungsfaktor k kann man in diesem Falle durch die Stundent-Faktoren ersetzen.

Mehr über die verschiedenen Herangehensweisen bei der Ermittlung von Messunsicherheitenin unserem Anwenderseminar.
Informationen zum Seminar unter www.messunsicherheit.info.

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Was sind eigentlich … Messunsicherheiten? Teil 2 – Generelles Vorgehen

Der erste Teil des Beitrages begann mit dem Satz: Die Messunsicherheit beschreibt die Genauigkeit einer Messung… Aber was bedeutet Genauigkeit? Ein Messergebnis ist genau, wenn es sowohl richtig als auch präzise ist!

Die Richtigkeit ist ein Maß dafür, wie gut der Mittelwert mehrerer Messungen einen Sollwert (z. B. den „richtigen Wert“ einer Referenzprobe) trifft. Die Präzision beschreibt die Streuung der einzelnen Messwerte um diesen Mittelwert unter der Voraussetzung, dass man die Messungen unter identischen Bedingungen wiederholt.

Die Messunsicherheit setzt eine möglichst hohe Richtigkeit des Messprozesses voraus und beschreibt auf der Basis dieses „richtigen Messprozesses“ die Abweichungen der einzelnen Messwerte bzw. Mittelwerte vom wahren Wert (siehe Teil 1). Die Messunsicherheit beschreibt also nicht die Ungenauigkeit oder Fehlerhaftigkeit von Messprozessen, sondern ganz im Gegenteil das Maß an (möglichst hoher) Sicherheit, das mit der Messung verbunden ist!

Das generelle Vorgehen bei der Ermittlung von Messunsicherheiten können wir in 7 Schritten zusammenfassen:

Schritt 1
Festlegung des Messverfahrens, mit dem wir z. B. eine physikalische Größe ermitteln wollen. Am Beispiel erklärt: Wenn wir die Masse m eines Körpers messen wollen, so könnten wir z. B.:
• Dichte ρ und Volumen V ermitteln und damit berechnen: m = ρ ⋅ V
• Gewichtskraft F und Fallbeschleunigung g ermitteln und damit berechnen: m = F / g

Schritt 2
Korrekte Einstellung der Messgeräte, denn die Bestimmung aussagefähiger Messunsicherheiten setzt eine richtige Messung voraus. Diese Einstellung kann mit Referenzproben oder Referenzverfahren erfolgen oder durch eine Kalibrierung der Geräte – z. B. durch ein akkreditiertes Kalibrierlabor, das wiederum Referenzproben oder Referenzverfahren benutzt …

Schritt 3
Ermittlung aller Einflussgrößen, die Auswirkungen auf die Messung haben. Auch hier am Beispiel erklärt: Wenn wir die Gewichtskraft F mit einer Waage messen, dann müssen wir uns u. a. Gedanken machen über:
• die Genauigkeit der Mechanik bzw. Elektronik der Waage
• die Art und Weise, wie und wo wir den Körper auf die Waage stellen
• die Genauigkeit der Referenzmasse, mit der die Waage überprüft wird
• der Auftrieb des Körpers

Schritt 4
Ermittlung der Verteilungsfunktionen für diese Einflussgrößen (Normalverteilung, Rechteckverteilung, Dreieckverteilung, …) und der Standardabweichungen, mit denen die Einflussgrößen streuen. Bezogen auf eine normalverteilte Größe bedeutet das, dass mit einer Sicherheit bzw. Signifikant von ca. 68% (±1⋅σ) gearbeitet wird.

Schritt 5
Überprüfung auf Korrelationen zwischen den Einflussgrößen. Das bedeutet, es ist zu prüfen, ob die Einflussgrößen abhängig (korreliert) oder unabhängig voneinander sind. Wird z. B. für die Überprüfung von zwei Einflussgrößen ein und derselbe Referenzkörper benutzt, dann sind diese Größen nicht mehr unabhängig voneinander. Korrelierte Einflussgrößen machen die Bestimmung der Messunsicherheit komplizierter – also möglichst vermeiden!

Schritt 6
Berechnung der einfachen Messunsicherheit aus den Standardunsicherheiten der Einflussgrößen. Für Einflussgrößen, die voneinander unabhängig sind, gilt:
• Die mittlere Messunsicherheit ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Standardabweichungen der Einflussgrößen. Dieses Vorgehen ist das “übliche Vorgehen“
• Die maximale Messunsicherheit ergibt sich aus der Addition der Standardabweichungen

Schritt 7
Festlegung der erweiterten Messunsicherheit und damit eines erweiterten Vertrauensintervalls in dem ein erhöhtes Vertrauensniveaus (eine erhöhte Signifikanz) gilt. In der Laborpraxis ist ein Faktor 2 üblich, mit dem die einfache Messunsicherheit multipliziert wird. Dieser Faktor 2 (oder ± 2⋅σ oder ca. 95%) bedeutet, dass sich der wahre Wert der Messgröße mit etwa 95%iger Wahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) innerhalb des Intervalls befindet, das durch die Messunsicherheit definiert wird (Vertrauensintervall).

Das Higgs-Teilchen – der etwas anderer Blick auf Messunsicherheiten

Derzeit ist das Higgs-Teilchen oder auch Gottesteilchen, wie es aus Marketinggründen genannt wird, in aller Munde. Zwei Forscherteams mit jeweils ca. 2500 Wissenschaftlern arbeiten an den beiden Detektoren (ATLAS und CMS) des LHC, und haben beide ein Teilchen mit einer Energie von 125 GeV nachgewiesen (so wie es für das Higgs-Teilchen vorausgesagt wird) – das eine Team mit einer Signifikanz von 5⋅σ, das andere Team mit einer Signifikanz von 4,9⋅σ.

Erst wenn die Signifikanz für beide Teams über 5⋅σ liegt, wird das Ergebnis als die Entdeckung des Higgs-Teilchens anerkannt. Was bedeutet das? Das bedeutet, erst wenn sich beide Teams mit einer Signifikanz von mehr als ± 5⋅σ oder 99,999943% ihrer Messungen sicher sind, gibt es Nobelpreise – wahrscheinlich einen für Peter Higgs (obwohl noch 5 andere Theoretiker diese Idee hatten) und sicher einen für einige Experimentalphysiker des CERN.

Den nächsten der Serie „Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?“ finden Sie unter diesem Link zum Teil 3

Ein Hinweis in eigener Sache
Informationen zu unserem Anwenderseminar „Messunsicherheiten in der Werkstoffprüfung“ finden sich unter www.messunsicherheit.info

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Was sind eigentlich … Messunsicherheiten? Teil 1 – Grundsätzliche Bemerkungen

Die Messunsicherheit beschreibt die Genauigkeit einer Messung oder einer Prüfung. Die Prüfung ist eine Tätigkeit, die zu einer Feststellung führt, inwieweit ein Prüfobjekt eine Forderung erfüllt. Sie kann qualitativer oder quantitativer Art sein. Die Messung ist eine Tätigkeit, die zu quantitativen Aussagen über eine Messgröße führt – üblicherweise durch Angabe eines Zahlenwertes mit einer Einheit. Die Herangehensweise bei der Bestimmung von Messunsicherheiten für Mess- und Prüfergebnisse ist sehr ähnlich, daher ist im folgenden Text mit dem Wort Prüfung auch die Messung gemeint.

Prüfungen können nie hundertprozentig genau sein. Schwankungen der Werkstoffeigenschaften im Probenvolumen, geringste Änderungen im Prüfprozess oder zeitliche Änderungen im Prüfgerät führen stets zu Schwankungen der Prüfergebnisse. Damit ergibt sich die Frage: Welche Auswirkungen haben solche Schwankungen auf die Prüfergebnisse?

Der „wahre Wert“ einer Werkstoff- oder Bauteileigenschaft kann aus wirtschaftlichen Gründen nie exakt ermittelt werden – dafür wären sehr, sehr viele Messungen nötig. In der Praxis werden kleine Stichproben – beispielsweise ein Zugversuch oder drei Spektralanalysen – durchgeführt. Damit stellt sich eine weitere Frage: Wie gut repräsentieren die Ergebnisse dieser kleinen Stichproben die „wahren“ Bauteil- oder Werkstoffkennwerte?

Beide Fragen können mit Hilfe statistischer Methoden beantwortet werden. Von zentraler Bedeutung ist dabei die Messunsicherheit u. Sie beschreibt ein Intervall ±u, das den Mittelwert x der Stichprobe umgibt (Vertrauensintervall) und in dem sich der wahre Wert µ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) befindet.

Den Mittelwert ermitteln wir, uns interessiert der wahre Wert, und die Messunsicherheit teilt uns mit, wie gut der Mittelwert den wahren Wert „getroffen“ hat. Typischerweise wird ein Vertrauensniveau von 95% gefordert. Das bedeutet, dass der wahre Wert µ mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit innerhalb des Bereiches x ± u liegen muss. Je höher das geforderte Vertrauensniveau, desto breiter das Vertrauensintervall.

Warum sind Messunsicherheiten so wichtig? Ihre Bedeutung soll durch drei Beispiele veranschaulicht werden:

• Wenn zwei Labore ihre Prüfergebnisse vergleichen wollen, dann sollten natürlich auch ihre Prüfprozesse vergleichbar sein. Wenn beide Labore an derselben Stahlprobe einen mittleren Kohlenstoffgehalt von 0,40% bzw. 0,43% ermittelt haben, ist der Unterschied von 0,03% dann eine signifikante Abweichung oder liegt er im Rahmen „normaler“ Streuungen?
• Bei Konformitätsbewertungen (also Bewertungen, ob ein Produkt eine Anforderung erfüllt) spielen Messunsicherheiten eine zentrale Rolle. Wie bewerten wir zum Beispiel ein Bauteil, das eine Härte von mindestens 300 HV haben muss, wenn im Zeugnis eine mittlere Härte von 305 HV mit einer Messunsicherheit von ± 15 HV angegeben wurde?
• Bei der Dimensionierung von Bauteilen ist die Messunsicherheit ebenfalls von Bedeutung. Ein Konstrukteur soll beispielsweise eine Brücke für eine bestimmte Anzahl von Menschen auslegen. Für den Konstrukteur ist es wichtig zu wissen, ob das Ergebnis der Ermittlung der „mittleren Masse“ eines Menschen 80 ± 5 kg oder 80 ± 15 kg beträgt.

 
Die drei Beispiele zeigen, dass zu einem Prüfergebnis immer auch die Angabe der zugehörigen Messunsicherheit gehört, denn nur so können Prüfungen korrekt bewertet, verglichen und fundierte Entscheidungen getroffen werden.

Manchmal können Messunsicherheiten auch eine große Bedeutung für unser ganz normales Alltagsleben haben. Wie genau messen eigentlich die Radargeräte, die zur Tempokontrolle benutzt werden? Punkt oder nicht Punkt? Das ist dann manchmal die Frage …

Den zweiten Teil von „Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?“ finden Sie unter diesem Link
Eine Anmerkung:
Werkstoff Service bietet Anwenderseminare zum Thema Messunsicherheiten in der Werkstoffprüfung an. Mehr dazu findet sich unter www.messunsicherheit.info .

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