Wie funktioniert eigentlich … magnetische Hysterese? (Teil 2 – Mathematik)

Im ersten Teil des Blogbeitrages haben wir die magnetische Hysterese ferromagnetischer Werkstoffe als das Ergebnis des Zusammenspiels eines äußeren Magnetfeldes H und der magnetischen Flussdichte B, die die Vorgänge im Inneren des Ferromagneten beschreibt, kennengelernt.

Wir haben im Teil 1 gesehen, dass der Begriff Hysterese (griechisch hysteros: Verzögerung, Verzug) darauf zurückzuführen ist, dass die Flussdichte B der äußeren Feldstärke H zeitlich verzögert folgt. Das passiert, weil die Weißschen Bezirke im Ferromagneten, deren Änderung die Flussdichte beschreibt, dem äußeren Magnetfeld nur dann folgen können, wenn ihnen genügend Energie zur Verfügung steht, um innere Widerstände zu überwinden.

Nachdem wir die Hysteresekurve im ersten Teil physikalisch erklärt haben, wollen wir nun außerdem noch die Mathematik zu Hilfe nehmen, um die Eigenschaften von Hysteresekurven genauer zu analysieren. Alle Bilder in diesem Blogbeitrag wurden übrigens mit Hilfe einer Excel-Tabelle erstellt. Wir starten mit Abb. 1, die uns die Neukurve und die Hysteresekurve eines Ferromagneten zeigt. Ein gutes mathematisches Modell sollte uns folgendes liefern und erklären:

• Form und Verlauf der Neukurve
• Form und Verlauf der Hysteresekurve
• Hysteresekurven unterschiedlicher Breite für Weich- und Hartmagnete

Für die Erzeugung einer Hysteresekurve benötigen wir ein magnetisches Feld H, das seine Größe und Richtung ändert. Das können wir durch eine wechselstromdurchflossene Spule erzeugen – das Feld H hat dann einen sinusförmigen Verlauf. Wir nehmen zunächst einmal an, dass die Flussdichte B den „Kommandos“ der Feldstärke H umgehend (also ohne Verzug) folgt und daher einen sehr ähnlichen Verlauf hat. Mathematisch bedeutet das:

In Abb. 2 ist links der Zeitverlauf von H und B dargestellt. Da für H und B der Einfachheit halber eine identische Skalierung angewendet wurde, liegen beide Sinuskurven aufeinander. Rechts ist die Flussdichte B über der Feldstärke H aufgetragen und wir finden einen linearen Zusammenhang: Erhöht sich H, erhöht sich auch B. Ist H maximal, ist es auch B. Nimmt H ab, nimmt auch B ab, … Wir „laufen“ also einfach auf einer geneigten Linie hoch und runter (schwarzer Pfeil). Das hat nichts mit Hysterese zu tun.

Jetzt bauen wir die zeitliche Verzögerung zwischen magnetischer Flussdichte B dem Magnetfeld H in unsere Formeln ein, indem wir in die Sinusfunktion für das B-Feld eine Phasenverschiebung (Zeitverschiebung) φ einfügen:

H = H_o · sin(t) und B = B_o · sin(t + φ )

Die Phasenverschiebung φ ist die „Zusatzzeit“, die die Flussdichte B wegen der Hysterese benötigt. Die Abb. 3 und 4 zeigen den Zusammenhang von H und B für Phasenverschiebungen von 1/20 Periode bzw. 1/10 Periode. Bezogen auf eine 50Hz-Wechselgröße (Periodendauer 20 ms) bedeuten diese Werte eine zeitliche Verzögerung der „Reaktion“ der Flussdichte B gegenüber den „Kommandos“ der Feldstärke H von 1 ms bzw. 2 ms.

Abb. 3 und 4 liefern uns jetzt in der Tat Hysteresekurven- also Kurven, die eine Fläche umschließen. Allerdings sehen diese ellipsenförmig aus und nicht „viereckig“ – das „ändern“ wir weiter unten noch … Vergleichen wir Abb. 3 und 4 mit Abb. 1, so erkennen wir zwei Sachverhalte wieder:

• Wir haben in allen drei Fällen Hysteresekurven, auch wenn sich die Kurvenformen unterscheiden. Die Entstehung der magnetischen Hysterese hat in der Tat damit zu tun, dass die magnetische Flussdichte B dem äußeren Magnetfeld H zeitlich verzögert folgt (Phasenverschiebung φ ).

• Je größer die zeitliche Verzögerung zwischen B und H, desto breiter werden offensichtlich die Hysteresekurven. Weich- bzw. hartmagnetisches Verhalten lässt sich also berechnen.

Abb. 4: sinusförmiger Verlauf von H und B mit einer Phasenverschiebung φ von 1/10 Periode

Wollen wir die Neukurve und das Sättigungsverhalten erklären, so müssen wir uns von dem Gedanken trennen, dass die magnetische Flussdichte B ebenso wie die Feldstärke H einen sinusförmigen Verlauf hat. Wir nehmen für B einen eher „kastenförmigen“ Verlauf an (Abb. 5) – diese Annahme wird einige Absätze weiter unten begründet. Mathematisch machen wir das, indem wir 5 Sinus-Funktionen verschiedener Ordnung (t, 3t, 5t, …) und unterschiedlicher Amplituden (B1, B3, B5, …) kombinieren. Auf eine Phasenverschiebung φ können wir zunächst verzichten.

Man kann je nach Art und Anzahl der Sinusfunktionen beliebige Formen „erzeugen“: kastenförmige, dreieckige, kreisförmige, … Warum wurden hier gerade fünf Sinusfunktionen verwendet? Weil die Fünf ausreichend waren, um den dargestellten (und recht gut gelungenen) „Kasten“ zu erzeugen – vier hätten dafür nicht gereicht.
Betrachten wir die Darstellung von B über H (Abb. 5, rechts) – und dort speziell den oberen rechten Teil, dann finden wir in guter Näherung unsere Neukurve (Abb. 5: NK) inklusive des Sättigungsverhaltens wieder.

Abb. 5: Verlauf von H (sinusförmig) und B („kastenförmig“) ohne Phasenunterschied φ

Zur Erklärung von Neukurve und Sättigung haben wir keinen Zeitverzug zwischen H und B benötigt. Soll unser mathematisches Modell nun Hysteresekurven erzeugen, die den „wirklichen“ Hysteresekurven nahekommen, so müssen wir die zeitliche Verzögerung zwischen H und B und den „kastenförmigen“ Verlauf von B miteinander kombinieren:

B = B₁ · sin(t + φ) + B₃ · sin(3t + φ) + B₅ · sin(5t + φ) + B₇ · sin(7t + φ) + B₉ · sin(9t+φ)

Die Phasenverschiebung φ beschreibt wieder die zeitliche Verzögerung zwischen Feldstärke H und Flussdichte B. Abb. 6 und 7 zeigen den Zusammenhang von H und B wieder für Phasenverschiebungen von 1/20 bzw. 1/10 Periode.

An dieser Stelle wollen wir klären und begründen, warum die Flussdichte B einen derart „kastenförmigen“ Verlauf hat. Weil sich die Weißschen Bezirke und damit auch die Flussdichte B zunächst nicht ändern, solange nicht genügend Energie für die Drehung der Weißschen Bezirke vorhanden ist. Das entspricht dem horizontalen Verlauf von B in den Abb. 6 und 7. Wenn genügend Energie zur Verfügung steht, dann geschieht die Änderung sehr schnell. Das entspricht dem nahezu vertikalen Verlauf von B in den Abb. 6 und 7. Zusammen ergibt das den „kastenförmigen“ Verlauf.

Abb. 6: Verlauf von H (sinusförmig) und B („kastenförmig“) mit einem Phasenunterschied φ von 1/20 Periode

Je größer die inneren Widerstände im Werkstoff, desto mehr Energie wird für die Drehung der Weißschen Bezirke benötigt. Um diese Energie zu sammeln, braucht es „Extrazeit“, die wir mit der Phasenverschiebung φ beschreiben. Eine große Phasenverschiebung produziert eine breite Hysteresekurve und beschreibt damit mathematisch die großen Energien, die für die Drehung benötigt werden.
Wir haben nun „nahezu perfekte“ Hysteresekurven konstruiert. Unsere Zutaten waren:

• sinusförmiger zeitlicher Verlauf der magnetischen Feldstärke H

• „kastenförmiger“ Verlauf der magnetischen Flussdichte B

• Phasenverschiebung φ zwischen H und B

Für die Konstruktion der Hysteresekurven in den Abb. 6 und 7 haben wir Sinusfunktionen verschiedener Ordnung miteinander kombiniert. Ist dies nur eine mathematische Spielerei oder hat das auch werkstofftechnischen „Nährwert“?
Dazu betrachten wir die Hysteresekurve in Abb. 8. Die ist durch dieselbe Kombination von Sinusfunktionen entstanden wie die in Abb. 7, aber mit einer Ausnahme:
Die Amplitude B₉ der letzten Sinusfunktion wurde ein klein wenig verändert – und die Auswirkungen sind in Abb. 8 deutlich sichtbar.

Abb. 7: Verlauf von H (sinusförmig) und B („kastenförmig“) mit einem Phasenunterschied von 1/10 Periode

Wie nutzen Werkstoffwissenschaftler so etwas?
Nun, sie messen die Hysteresekurve eines „Gut-Werkstoffes“, zerlegen diese (oder genauer die Flussdichte B, die sich in der Hysteresekurve verbirgt) in ihre einzelnen Sinusfunktionen und ordnen bestimmten Werkstoffeigenschaften bestimmte Sinusfunktionen zu. Werden nun andere Proben dieses Werkstoffes untersucht und finden sich Veränderung in den Hysteresekurven (z.B. eine Änderung der Amplitude B₉), dann kann man diese Änderung einer ganz bestimmten Sinusfunktion zuordnen und so Rückschlüsse auf die konkrete Werkstoffeigenschaft ziehen, die sich hinter dieser Sinusfunktion „verbirgt“.

Abb. 8: Verlauf von H und B mit Phasenunterschied von 1/10 Periode und „Störung“ von B

Das ganze Verfahren nennt man Oberwellenanalyse. Warum Oberwellenanalyse? Dazu betrachten wir noch einmal die Formel:

B = B₁ · sin(t) + B₃ · sin(3t) + B₅ · sin(5t) + B₇ · sin(7t) + B₉ · sin(9t)

Die erste Sinusfunktion (sin(t)) nennt man Grundschwingung (oder auch Grundwelle) und alle anderen Sinusfunktionen (sin(3t), sin(5t), …) werden Oberwellen genannt. Diese werden der Oberwellenanalyse unterzogen. Mittels Oberwellenanalyse von Hysteresekurven lassen sich also die Materialeigenschaften ferromagnetische Werkstoffe prüfen.

Die Oberwellenanalyse ist übrigens etwas, was jeder Mensch praktisch jeden Tag durchführt. Wir hören sofort, ob ein Ton harmonisch klingt oder eher dissonant (also unharmonisch). Dissonanzen werden u.a. durch „fehlerhafte“ Oberwellen verursacht. Unser Gehirn analysiert dazu die Oberwellen akustischer Töne. Was fehlerfrei ist, das „klingt gut“. Was fehlerhaft ist, nehmen wir als unangenehmen Klang wahr.

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Wie funktioniert eigentlich … magnetische Hysterese? (Teil 1 – Physik)

Magnetische Hysterese ist ein Phänomen, das bei ferromagnetischen Materialien auftritt, die sich in einem veränderlichen Magnetfeld befinden. Aus Sicht der Werkstofftechnik und Werkstoffprüfung interessiert uns die Hysterese von Ferromagneten z.B. bei der Herstellung von Dauermagneten oder bei der Magnetpulver- bzw. Wirbelstromprüfung. Zu den ferromagnetischen Werkstoffen gehören u.a. Kobalt und seine Legierungen, Nickel und seine Legierungen sowie Eisen und seine Legierungen (z.B. Stähle).

Im ersten Teil dieses Blogbeitrages werden wir die magnetische Hysterese ausschließlich auf der Grundlage physikalischer Überlegungen diskutieren. Im zweiten Teil des Blogbeitrages werden wir vor allem die Mathematik zur Hilfe nehmen, um die Hysterese und die Hysteresekurven noch besser zu verstehen.

Für die physikalische und noch mehr für die mathematische Erklärung der Hysterese ist es hilfreich, zunächst einmal zu fragen, was denn das Wort Hysterese bedeutet. Hysterese kommt vom griechischen Wort hysteros und bedeutet „Verzögerung“ oder „Verzug“. Für das Verständnis der Hysterese ist es sehr hilfreich, diese einfache Übersetzung im Hinterkopf zu behalten …

Ein unmagnetischer Ferromagnet ist ein Material, das das Potential hat, ein Dauermagnet zu werden, aber noch keiner ist. Diesen Ferromagneten platzieren wir in einem Magnetfeld – z.B. indem wir ihn in eine stromdurchflossene Spule legen. Das äußere Magnetfeld H erzeugt im Werkstoff ein zweites magnetisches Feld, die magnetische Flussdichte B. H ist gewissermaßen die äußere „Kommandogröße“ und B die Reaktion des Werkstoffs auf dieses Kommando. Die magnetische Hysterese beschreibt den Zusammenhang zwischen den beiden Größen magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte.

Wollen wir eine Hysteresekurve experimentell ermitteln, so platzieren wir einen unmagnetischen Ferromagneten in einer Spule, die zunächst stromlos ist. Das bedeutet, H und B sind Null, und wir befinden uns in Abb. 1 im Koordinatenursprung. Erhöhen wir nun die Stärke des äußeren Feldes H (indem wir die Stromstärke des Spulenstromes erhöhen), so ändert sich B zunächst sehr wenig (dies wird in der Abb. 1 nicht deutlich), steigt dann aber sehr schnell an und erreicht ab einer gewissen Feldstärke +HS eine Sättigung. Das bedeutet, B ändert sich nun kaum noch, auch wenn H weiter erhöht wird. Diesen Kurvenverlauf nennen wir Neukurve (graue Punkte, grauer Pfeil).Die Neukurve tritt nur bei zunächst unmagnetischen Ferromagneten auf.

Reduzieren wir H wieder, so laufen wir nicht etwa auf der Neukurve zurück, sondern folgen der eigentlichen Hysteresekurve (schwarze Punkte, schwarze Pfeile), und wir messen für H = 0 eine von Null verschiedene Flussdichte +BR, das ist die Remanenz. Remanenz kommt vom lateinischen remanere und bedeutet „das, was übrig bleibt“. BR ist also die Flussdichte, die im Ferromagneten übrig bleibt, wenn das äußere Magnetfeld H ausgeschaltet ist. Jeder Dauermagnet „lebt“ von seiner Remanenz. Einen Ferromagneten zu magnetisieren und ihn zum Dauermagneten zu machen bedeutet, ihm seine Remanenz BR zu „verleihen“.

Jetzt ändern wir die Richtung des äußeren Feldes H (z.B. indem wir den Stromfluss in der Spule umkehren), erhöhen H wieder und beobachten B. Bei einer bestimmten Feldstärke -HC, der Koerzitivfeldstärke, messen wir B = 0. Das lateinische Wort coercere bedeutet „in die Schranken verweisen“. HC ist also die Feldstärke, die nötig ist, um B in seine „Schranken zu verweisen“ (B = 0 zu erzwingen). Erhöhen wir H weiter, so erreichen wir einen weiteren Sättigungspunkt (-HS). Durch Umkehrung der Richtung von H und Änderung der Größe von H kann man nun auf der Hysteresekurve zwischen den Punkten +HS, +BR,-HC, -HS,-BR,+HC,+HS umlaufen (schwarze Pfeile).

Ferromagnetische Werkstoffe liefern unterschiedliche Hysteresekurven (Abb. 2). Die Hysteresekurven von Weichmagneten sind schmal und durch vergleichsweise kleine Remanenzen sowie Koerzitivfeldstärken gekennzeichnet. Die Hysteresekurven von Hartmagneten sind breit und durch vergleichsweise große Remanenzen sowie Koerzitivfeldstärken gekennzeichnet.

Bei der Analyse der magnetischen Hysterese stellen sich einige Fragen, die nachfolgend beantwortet werden sollen:
• Warum wird zunächst die Neukurve durchlaufen und später nur noch die Hysteresekurve?
• Wie ist das Sättigungsverhalten zu erklären?
• Wieso umschließt die Hysteresekurve eine Fläche und welche physikalische Bedeutung hat diese Fläche?
• Warum haben Ferromagnete einmal schmale Hysteresekurven (kleine umschlossene Flächen) und ein anderes Mal breite Hysteresekurven (große umschlossene Flächen)?

Ferromagnetische Werkstoffe zeichnen sich durch ein kollektives Verhalten der Atome aus – die magnetischen Momente vieler tausender Atome sind in dieselbe Richtung orientiert und bilden so einen winzigen Dauermagneten. Diese Bereiche gleicher Orientierung der magnetischen Momente nennen wir Weißsche Bezirke. Die Weißschen Bezirke eines unmagnetischen Ferromagneten sind in alle beliebigen Richtungen orientiert und heben sich dadurch in ihrer magnetischen Wirkung auf. Der Werkstoff ist folglich zwar ferromagnetisch, aber kein Dauermagnet. Die magnetische Flussdichte B beschreibt etwas vereinfacht gesprochen das Verhalten der Weißschen Bezirke unter dem Einfluss eines äußeren Magnetfeldes H.

In Abb. 3 ist schematisch ein Werkstoff mit vier Weißschen Bezirken dargestellt. Die sechs Teilbilder der Abb. 3 werden nachfolgend erläutert:
1. Anfangs sind die magnetischen Momente in alle Richtungen orientiert und heben sich dadurch in ihrer magnetischen Wirkung gegenseitig auf – der Ferromagnet ist nach außen unmagnetisch.
2. Nun wird ein äußeres Magnetfeld H angelegt und die magnetischen Momente beginnen sich nach dem äußeren Feld auszurichten – ebenso, wie es ein Kompass tun würde.
3. Je stärker das äußere Magnetfeld H wird, desto mehr werden die magnetischen Momente in seine Richtung gezwungen. Das kennzeichnet den Verlauf der Neukurve.
4. Schließlich sind alle magnetischen Momente mehr oder weniger perfekt in Richtung des Feldes H ausgerichtet. Eine weitere Verstärkung des Feldes H ändert nichts mehr an dieser Ausrichtung – das kennzeichnet die Sättigung.
5. Drehen wir das Feld um, so folgen auch die Weißschen Bezirke. Es wird klar, dass eine einfache Umkehrung des Feldes H niemals dazu führen kann, dass wir wieder einen Zustand wie in Abb. 3, Teilbild 1erhalten (vier unterschiedliche Richtungen der magnetischen Momente in einem äußeren Feld mit einer festen Orientierung, das geht nicht). Es ist also schlichtweg nicht möglich, dass bei Feldumkehr auf der Neukurve zurückgelaufen wird.
6. Ist das Feld nur stark genug, so erreichen wir Sättigung mit umgekehrter Feldorientierung

Allerdings folgen die Weißschen Bezirke und damit auch die magnetische Flussdichte B dem äußeren Feld H nicht sofort, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung. Das liegt daran, dass sich die magnetischen Momente im Werkstoff nur dann drehen (und zum Teil auch verschieben) können, wenn es ihnen gelingt, innere Widerstände (z.B. Kristallbaufehler) zu überwinden. Um diese inneren Widerstände zu überwinden, müssen sie zunächst Energie „sammeln“ – das braucht Zeit und erklärt die zeitliche Verzögerung (Hysterese) zwischen H und B. Je mehr und je größere innere Widerstände vorhanden sind, desto mehr Energie muss gesammelt werden und desto größer ist die zeitliche Verzögerung zwischen H und B.

Findet sich die Energiemenge, die für das Drehen der Weißschen Bezirke notwendig ist, in unserer Hysteresekurve wieder? Ja, das ist nichts anderes als die Fläche, die durch die Hysteresekurve umschlossen wird. Die breiten Hysteresekurven von Hartmagneten mit einer relativ großen umschlossenen Fläche können wir also wie folgt erklären:
• Warum heißt ein Hartmagnet „Hartmagnet“? Weil er hart ist.
• Welche Stähle sind hart? Z.B. solche mit einem hohen Kohlenstoffgehalt.
• Was macht der Kohlenstoff (ob als einzelnes Atom oder in Form von Karbiden) noch, außer den Werkstoff hart machen? Er behindert die magnetischen Momente am Umorientieren.

Hartmagnete haben also deshalb eine breite Hysteresekurve, weil dieselben Prozesse, die den Werkstoff hart machen, die Drehung der magnetischen Momente behindern. Das macht es erforderlich, zunächst Energie für den Drehprozess zu sammeln, was seine Zeit braucht (Verzögerung). Die Fläche, die die Hysteresekurve umschließt, ist ein Maß für die Energie, die für diese Umorientierung benötigt wird. Weichmagnete (z.B. Stähle mit wenig Kohlenstoff) setzen der Umorientierung einen geringen Widerstand entgegen, folglich haben sie eine schmale Hysteresekurve.

Die Breite der Hysteresekurve und die Größe der Verzögerung zwischen Feldstärke H und Flussdichte B haben also etwas damit zu tun, wie viel Energie zur Verfügung gestellt werden muss, um die inneren Widerstände zu überwinden. Ist genügend Energie vorhanden, dann erfolgen die Drehungen der Weißschen Bezirke und damit die Änderung der magnetischen Flussdichte B sehr schnell. Diese schnelle Änderung ist auch der Grund für die etwas „viereckige“ Form der Hysteresekurve – das wird im zweiten Teil dieses Blogbeitrages genauer betrachtet.

Der ganze Prozess des Drehens der magnetischen Momente der Weißschen Bezirke ist vergleichbar mit dem Verhalten eines Gewichtes, das man auf einen Teppich legt, ein Gummiseil daran befestigt und dann am Seil zieht. Zunächst passiert … nichts – selbst wenn das Gummiseil bereits gespannt ist. Im Gummiseil muss zunächst genug Energie gespeichert werden, um die Haftreibung zwischen Teppich und Gewicht zu überwinden. Das Gewicht folgt also dem „Kommando“ des Gummiseiles mit zeitlicher Verzögerung. Je rauer der Teppich, desto mehr Energie muss gesammelt werden, und desto größer ist folglich die zeitliche Verzögerung. Ist genügend Energie gesammelt, beginnt das Gewicht sich zu bewegen – aber nicht langsam und allmählich, sondern schnell.

Werkstoffe mit schmalen Hysteresekurven – also Weichmagnete – finden dort technische Anwendung, wo beim Ummagnetisieren möglichst wenig Energie durch das Drehen (bzw. Verschieben) der Weißschen Bezirke verloren gehen soll. Ein Beispiel ist der Kern eines Transformators, der Primär- und Sekundärspule miteinander „verbindet“.

Werkstoffe mit breiten Hysteresekurven – also Hartmagnete – finden dort technische Anwendung, wo der Werkstoff sich möglichst schwer ummagnetisieren lassen soll. Ein Beispiel ist der Dauermagnet – der soll seiner Ummagnetisierung/Entmagnetisierung einen großen Widerstand entgegen setzen (er soll ja ein Dauermagnet bleiben).

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